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 périodicité

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Julie[Ts]



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MessageSujet: périodicité   Jeu 14 Déc - 17:57

salut !
je reprend un post j'ai le meme exo

exo 1 : on considere le nombre complexe z tel que z= √(1 + sin² x )

1. determiner lensemble de def f
2. etudier la parite et la periodicite de f. Que peut on dire?
3.monterer que f est derivable sur R et que tout x de R,
f'(x)= (sin x cos x)/(√(1 + sin² x )
4. dresser alors le tableau de variations de la fonction f sur [o, pi/2], [-pi/2, pi/2] puis sur [-pi, pi].

question 1

f est défini si et seulement si 1+sin²x>=0
donc : -1<=sinx<=1 j'éleve au carré et je reécris elle est desormais comprises entre 0 et 1
0<=sin²x<=1
j'ajoute 1de chaque cotés j'obtients

1<=(1 + sin² x )<=2
je met racine de chaque cotés
1^1/2<=(1 + sin² x )^1/2<=(2)^1/2 ( comment on fait pour faire le signe racine au clavier ?)

j'ai retrouvé mon equation de départ et je constate que pour tout x f(x) est compris entre rcine de 1 et racine de 2 donc f(x) est défini sur R

question 2
partie 1
f(x)= √(1 + sin² x )
f(-x)=√(1 + sin² -x )
f(-x)=√(1 + sin² x ) trop rapide ?

c'est une fonction paire donc symatrique par rapport à l'axe des ordonnées

partie 2 -> question super sadique 2h que je dors dessus et que j'étudie mon cours. aider moi pour l'exo ou je me tire une balle..

et puis prk une fonction impaire comme tangente -x suffit dêtre etudier sur [0 ; pi/2 [

et prk tan (x+pi)=tan xest qui est periodique de periode pi la on est d'accord suffit d'etre étudier sur ]-pi/2 et pi/2[
En gros c koi cette histoire de sufficance ...

question 3
résolu sans soucis
question 4
quand j'aurai la 2 partie 2 ça sera du gateau..
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MessageSujet: Re: périodicité   Ven 15 Déc - 12:18

cheers Bonjour Julie,
Pour la question 1, ce que tu as fait n'est pas bon. En effet tu ne peux pas élever au carré n'importe comment : si -3 est inférieur ou égal à -2 on ne peut pas dire que le carré de -3 est inférieur ou égal au carré de -2.
En fait tu as juste à dire que sin²x>=0 et 1 aussi donc 1+sin²x>=0
Pour la parité c'est OK.
Une fonction périodique est une fonction qui se répète. On peut donc l'étudier sur un interval restreint puis reproduir le "motif" ...
Ici, tu peux montrer que f(x+pi)=f(x) donc période pi.
L'intérêt c'est qu'on peut donc étudier la fonction sur [o;pi/2]
Ensuite, comme elle est paire par symétrie on la connait sur [-p/2;pi/2]
Cet interval a pour "longueur" pi (la période)
On peut donc le reproduire à l'infini.
Pour faire la racine au clavier, on utilise V en précisant qu'il veut dire "racine de " ex: V(1+sin²x)

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Julie[Ts]



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MessageSujet: Re: périodicité   Ven 15 Déc - 15:41

donc si j'ai pas le droit d'élever au carré c'est uniquement parce que j ai un nombre negatif. donc j ai pas le droit de mettre une racine de chaque cotés aussi ?

pour la periodicité j ai fait f(x+kT)=f(x)
<->v(1+sin²(x+kt))=v(1+sin²(x)) j'enléve les racines qui me géne ..ai je le droit (d'ou ma quesion plus haut ) ?

<->1+sin²(x+kt)=1+sin²(x)
<->sin²(x+kT)=sin²(x) je retranche 1
j'enléve le carré donc il y a deux solutions :
sin (x+kt) = sin x
sin (x+kt)=-sin x

donc la je dis qu'il y a deux solutions kt =2pi ou kt=pi (modulo 2pi)
sur le poste précedent il dit que c'est pi pourtant je trouve deux solution pi est solution parce que 2pi est juste un multiple ? ou c'est pas du tout ça ?
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Julie[Ts]



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MessageSujet: Re: périodicité   Ven 15 Déc - 15:50

f est défini si et seulement si 1+sin²x>=0
donc : -1<=sinx<=1 or sin²x>=0 et 1>=0
soit
0<=sin²x<=1
j'ajoute 1de chaque cotés j'obtients

1<=(1 + sin² x )<=2
je met racine de chaque cotés
1^1/2<=(1 + sin² x )^1/2<=(2)^1/2

en faites c'etait juste "le j'éleve au carré" qui etait de trop Embarassed
c'est utile de marqué 1>=0 ?
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MessageSujet: Re: périodicité   Ven 15 Déc - 15:59

Tu vas chercher des trucs compliqués où y a pas la place!!!...
sin²x est positif puisque c'est un carré.
1 est positif.
la somme de deux réels positif est positive.
kT=2pi ou kT=pi (modulo 2pi) se résume à kT=pi modulo pi.
D'où la période pi.

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Julie[Ts]



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MessageSujet: Re: périodicité   Ven 15 Déc - 16:12

bon d'accord merci ! Smile
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