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 exercice sur les suites arithmétiques et géométriques

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Christin
Invité



MessageSujet: exercice sur les suites arithmétiques et géométriques   Dim 14 Jan - 19:23

Bonjour à toutes et à tous,

Je suis en classe de 1ere L. J'ai un DM et je suis bloqué dans la partie C de mon exercice cela fait 1heures que j'essaye à le faire. C'est pourquoi j'implore votre aide. Pouvez-vous vérifier si la partie A et B est correcte et pouvez-vous m'aidez à trouver les réponses de la partie C.
En vous remerciant.

Trois amis Bertrand, Claire et Dominique débutent dans trois entreprises différentes. Au premier janvier de l’année 2000, Bertrand et Claire débutaient avec un salaire mensuel de 1 500 €, tandis que Dominique commençait avec un salaire menseul de 1400 €. Ils se proposent de comparer l’évolution de leurs salaires mensuels. On a donné en annexe 2, à rendre avec la copie, un tableau obtenu à l’aide d’un tableur.
Une fois que tous les calculs auront été effectués, les résultats seront arrondis à 10-2.

Partie A - Évolution du salairemensuel de Bertrand
À partir de l’année 2001, au premier janvier de chaque année, le salaire mensuel de Bertrand augmente de 2,5%. On note bn, le salaire mensuel de Bertrand au 1er janvier de l’année (2000+n), n étant un entier naturel. On a donc b0 = 1500.

1.Quelle formule doit-on saisir dans la cellule A3 du tableau de l’annexe 2, pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les différentes années?
On doit saisir la formule 2000+n ; n étant un entier naturel ; donc 2000+1=2001

2.Calculer le salaire mensuel de Bertrand en 2001 puis en 2002.
bn=1500x(1+2.5/100°+1537.5 ; bn= 1537.5x(1+2.5 :100)=1575.93

3. Quel est le coefficient multiplicatif correspondant à cette augmentation de
2,5% par an?
1.025 car 1575.93/1537.5=1.025

3.Quelle formule peut-on saisir dans la cellule C3 du tableau de l’annexe 2, pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les salaires mensuels de Bertrand jusqu’en 2008?
C3=C2x r =1500x1.025=1537.5

4.Montrer que, pour tout entier naturel n, bn = 1500×(1,025)n .
b1=1500x(1.025)1=1537.5
b2=1500x(1.025)2=1575.93
b3=1500x(1.025)3=1615.33
b4=1500x(1.025)4=1655.71
b5=1500x(1.025)5=1697.11
b6=1500x(1.025)6=1739.54
b7=1500x(1.025)7=1783.02
b8=1500x(1.025)8=1827.60

5.a. Compléter la colonne C du tableau de l’annexe 2, jusqu’en 2008.

b. En supposant que le salaire mensuel de Bertrand évolue de la même façon
après 2008, déterminer à partir de quelle année son salaire mensuel
dépassera 2 000 €. Justifier.
A partir de 2012, son salaire mensuel dépassera 2000euros, il sera a 2017.33euros car chaque année son salaire augmente de 2.5%

Partie B - Évolution du salairemensuel de Claire
À partir de l’année 2001, au premier janvier de chaque année le salaire mensuel de Claire augmente de 40 €.
On note cn, le salaire mensuel de Claire au 1er janvier de l’année (2000+n), n étant un entier naturel. On a donc c0 = 1500.

1.Calculer le salaire mensuel de Claire en 2001 puis en 2002.
En 2001 c1=1500+40=1540 ; en 2002 c2=1540+40=1580

2.Exprimer cn+1 en fonction de cn. Que peut-on en déduire pour la suite (cn) ? Justifier.
Cn+1=Cn+40 ; Cn est une suite arithmétique car chaque terme est obtenu en ajoutant au précédent un nombre constant r appelé raison. Ici on lui ajoute 40.

3.Quelle formule doit-on saisir dans la cellule D3 du tableau de l’annexe 2, pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, les salaires mensuels de Claire jusqu’en 2008?
D3=D2+40 donc 1500+40=1540

4. En complétant la colonne D du tableau de l’annexe 2. déterminer à partir de
quelle année le salaire mensuel de Bertrand dépasse celui de Claire.
C’est à partir de 2008 que le salaire mensuel de Bertrand dépasse celui de Claire. Celui de Bertrand est de 1827.60euros et celui de Claire est de 1820euros.

Partie C- Évolution du salaire mensuel de Dominique
On appelle dn le salaire mensuel de Dominique au 1er janvier de l’année (2000+ n), n étant un entier naturel.
On a donc d0 = 1400.
On note un = dn +1000.
On admet que la suite (un) est une suite géométrique de raison 1,02.

1. a. Montrer que un = 2400×(1,02)n .
b. Exprimer dn en fonction de n.
c. Quelle formule doit-on saisir dans la cellule E3 du tableau de l’annexe
2 pour obtenir, par recopie automatique vers le bas, le salaire de Dominique
jusqu’en 2008?
d. Compléter la colonne E du tableau de l’annexe 2 jusqu’en 2008.
2. On suppose que jusqu’en 2015, chacun des saLaires des trois amis continuera d’évoluer comme avant 2008. À partir de quelle année le salaire de Dominique sera-t-il le plus élevé des trois?

Annexe 2 à rendre avec la copie:

_____A_______B_________C____________D____________E _____
1___année_____n____Salaire de______Salaire de_____Salaire de
__________________Bertrand bn_____Claire cn____Dominique dn

2___2000 ______0_______1500________1500________1400
3___2001 ______1______1537.5 _______1540 ________.....
4___2002 ______2______1575.93_______1580 ________....
5___2003 ______3______1615.33_______ 1620 _______....
6___2004 ______4______1655.71________1660________....
7___2005_______5______1697.11_______ 1700 _______....
8___2006 ______6______1739.54 ________1760_______....
9___2007 ______7______1783.0 _________1780 ______....
10__2008 ______8______1827.60________1820_______1811.98
11__2009 ______9______1873.29 _______ 1860_______ ....
12__2010 ______10____1920.12 ________1900 _______ ....
13__2011 ______11____1968.12 ________1940_________....
14__2012_______12____2017.33________1980_________. ...
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MessageSujet: Re: exercice sur les suites arithmétiques et géométriques   Lun 15 Jan - 22:14

cheers Bonsoir Christin
D'une manière générale, fais attention aux arrondis :
b2=1575.937 donc l'arrondi est 1575.94
Cà, c'est pour la calculette. Si tu utilise un tableur tu peux avoir les arrondis directement (ex sous excel : format/cellule/monétaire/nombre de décimale = 2

Si tu est sous excel la formule a saisir est : =1500*PUISSANCE(1,025;B3)
Qui te fera 1500x1.025^n

Pour 2001, n'utilise pas bn mais b1 pour 2002 b2 etc...
Pour montrer que pour tout entier naturel n bn=....tu aurai pu employer le même genre d'expliquation que dans le C :
bn est une suite géométrique car chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un nombre constant q appelé raison. Ici on multiplie par 1.025.

C'est en 2007 que le salaire de Bertrand dépassera celui de Claire :
b7=1783.03€
c7=1780€

Un=U0x1.02^n
Il faut donc trouve U0
Uo=d0+1000 donc 2400
On a donc bien ...
On avait Un=dn+1000 donc dn=Un-1000 et puisque maintenant on connait Un alors dn=.....

Pour le reste, je te fais confiance.
Tu vas trouver que le salaire de Dominique sera le plus élevé en 2010.

Bon courage!!!...
La prochaine fois prends le temps de t'inscrire pour une réponse plus rapide
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