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 Equations paramétriques

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alpha16



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MessageSujet: Equations paramétriques   Ven 23 Fév - 19:27

Bonjour
Pourriez vous m'aider s'il vous plaît?

J'ai la correction mais je ne la comprend pas.
Pourriez vous me l'expliquer s'il vous plaît?

Soit un tétraèdre ABCD. On prend le symétrique du sommet A par rapport aux milieux respectifs des segments [BC], [CD] et [DB].
Soit D’, B’ et C’ les points ainsi obtenus.
On se propose de montrer que les droites (BB’), (CC’) et (DD’) sont concourantes.
Vérifier que (A, vec AB, vec AC, vec AD) est un repère de l’espace.

1) Déterminer une représentation paramétrique de chacune des droites (BB’), (CC’) et (DD’).
2) Montrer que ces droites sont concourantes en un point I que l’on précisera.

CORRECTION.

1) Avec le repère (A, vec AB, vec AC, vec AD) :

A(0; 0 ; 0)
B(1 ; 0 ; 0)
C(0 ; 1 ; 0)
D(0 ; 0 ; 1)

Soit L le milieu de [BC]: L(1/2 ; 1/2 ; 0)
Soit J le milieu de [CD]: J(0 ; 1/2 ; 1/2)
Soit K le milieu de [DB]: K(1/2 ; 0 ; 1/2)

vect(AL) = L(1/2 ; 1/2 ; 0)
vect(AL) = vect(LD')
avec D'(X;Y;Z)
vect(LD') = (X-(1/2) ; Y-(1/2) ; Z)

-->
X-(1/2) = 1/2 --> X = 1
Y-(1/2) = 1/2 --> Y = 1
0 = Z

Et donc D'(1 ; 1 ; 0)

De manière analogue:
B'(0 ; 1 ; 1)
C'(1 ; 0 ; 1)
---

B(1 ; 0 ; 0)
B'(0 ; 1 ; 1)

Un vect directeur de (BB') est (1 ; -1 ; -1)

Equations paramétriques de (BB'):
x-1 = k1
y = -k1
z = -k1
---
C(0 ; 1 ; 0)
C'(1 ; 0 ; 1)

Un vect directeur de (CC') est (1 ; -1 ; 1)

Equations paramétriques de (CC'):
x = k2
y-1 = -k2
z = k2
---
D(0 ; 0 ; 1)
D'(1 ; 1 ; 0)

Un vect directeur de (DD') est (1 ; 1 ; -1)

Equations paramétriques de (DD'):
x = k3
y = k3
z-1 = -k3
-----
2)

x-1 = k1
y = -k1
z = -k1
x = k2
y-1 = -k2
z = k2

--> k1 = -k2

x-1 = k1
y = -k1
z = -k1
x = -k1
y-1 = k1

x = -k1
x-1 = k1

x = -x+1
x = 1/2

x = 1/2; y = 1/2 ; z = 1/2

I(1/2 ; 1/2 ; 1/2) est le point de rencontre de (BB') et (CC')

Vérifions si I appartient à (DD')

x = k3
y = k3
z-1 = -k3

k3 = 1/2 --> x = y = 1/2 et z = 1/2 --> I appartient à (DD')

Les droites (BB’), (CC’) et (DD’) ne sont pas confondues et ont le point I(1/2 ; 1/2 ; 1/2) en commun, elles sont donc concourantes.
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MessageSujet: Re: Equations paramétriques   Ven 23 Fév - 22:00

cheers Bonsoir alpha16,
A partir d'où ne comprends tu pas ?
A+

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alpha16



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MessageSujet: Re: Equations paramétriques   Sam 24 Fév - 0:49

Bonsoir

Je ne comprend pas la deuxième question.
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MessageSujet: Re: Equations paramétriques   Sam 24 Fév - 18:48

cheers Bonjour alpha16,
Je comprends donc que tu sais trouver l'équation paramétrique d'une droite.
Pour le 2) :
Tu cheche un point qui appartient aux deux droites (BB') et (CC').
C'est un point dont les coordonnées vérifient les deux équations.
Dans un premier temps, puisque tu as z=k2 et z=-k1, tu as bien k1=-k2
Tu peus donc diminuer le nombre d'inconnues dans tes équations en remplaçant k2 par -k1 d'où le x-1=k1 et x=-k1 et donc x=1/2.
Maintenant que tu connais une inconnue, tu peux remonter les opérations pour retrouver les autres...
Tu n'as plus qu'à vérifier que les coordonnées trouvées vérifient bien l'équation de la troisième et le tour est joué...
A+ sur abilobac.fr

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alpha16



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MessageSujet: Re: Equations paramétriques   Sam 24 Fév - 22:49

Merci beaucoup pour vos explications. Very Happy Very Happy
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MessageSujet: Re: Equations paramétriques   

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