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 équation différentielle

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xavi90
Invité



MessageSujet: équation différentielle   Lun 23 Avr - 19:15

j'aimerais un peu d'aide car j' ai du mal à partie de la 2 b ..
enoncé:
soit E1 l' ensemble des fonctions solutions de l' équa diff y'=y
soit E2 l" ensembe des fonctions solutions de l' équa diff y''=y
le but de l' exercice est de démontrer qu' il existe une unique fonction f qui appartient à E2 et vérifie f(o)=1 et f'(o)=o
1) verifier que les fonctions e(x) et e(-x) appartiennent à E2
2) soit f dérivable sur R on pose u= f+f'
a) démontrer que f appartient à E2 SSI u appartient à E1
b) démonstration : prérequis la fonction e(x) est solution de E1
démontrer l' unicité de la fonction u élément de E1 qui vérifie u(o)=1

3)a) soit f de E2;on pose pour tout x g(x)= f(x)e(x)
démontrer que si f vérifie f(o)=1 et f'(o)=o alors g'(x)=e(2X)
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Nombre de messages : 254
Localisation : La Seyne sur mer
Date d'inscription : 22/01/2006

MessageSujet: Re: équation différentielle   Mer 25 Avr - 0:24

cheers Bonsoir xavi90,
1)Il suffit de dériver 2 fois ....
2)Pour le SSI, il faut absoluement soit démontrer en n'utilisant que des équivalences, soit démontrer dans les 2 sens.
u appartient à E1 <=> u'=u
............................<=> (f+f')'=f+f'
............................<=> f'+f''=f+f'
............................<=> f''=f
............................<=> f appartient à E2

puisque u appartient à E1, on a u'=u et donc u=Ce^x avec u(0)=1 on trouve facilement C=1.
Il reste à démontrer que si C est différent de 1, alors u n'appartient pas à E1, ou u appartient à E1 mais u(0) n'est pas égal à 1.

3)Tu dois trouver facilement que g'(x)=f'(x)e^x+f(x)(e^x)'
ou encore g'(x)=(f+f')e^x
or f+f'=u et on a montré l'unicité de u qui vérifie u(0)=1..............
Bon courage!!!... et A+ sur abilobac.fr
Pour une réponse + rapide, la prochaine fois prend le temps de t'inscrire.

_________________
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xavi90
Invité



MessageSujet: Re: équation différentielle   Mer 25 Avr - 16:25

oui pour la 1 et la 2 c bien ce que j' avais trouvé et j' avais du mal pour la 3 mais grâce à vous je viens de comprendre merci encore Very Happy
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MessageSujet: Re: équation différentielle   

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