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 fonction dérivé et application de la dérivation

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carramel



Nombre de messages : 1
Localisation : 11
Date d'inscription : 20/05/2006

MessageSujet: fonction dérivé et application de la dérivation   Sam 20 Mai - 17:26

j'ai un problème en maths que je n'arrive pas à résoudre merci pour votre aide

1/ soit la fonction f définie sur[fract (1)(2)] par :

f(x) = 6x+8 + frac (24)(x)
a. Déterminer la fonction dérivée de f. Etudier le signe de f'(x). En déduire le sens de variation de f.

Etablir alors le tableau de variation de f.

b. Justifier que l'équation f(x) = 40 admet une unique solution dans l'intervalle [frac (1)(2) ; 4]
Déterminer un encadrement à 10 ^-1 près de cette solution.

2/ On souhaite fabriquer un conteneur en tôle en forme de parallélépipède rectangle dont le volume est de 12 mètre cube.
En raison de son utilisation , l'une de ses dimensions doit être de 3 mètres. On cherche les deux autres dimensions (x et h) de façon à satisfaire différentes contraintes.
a. A l'aide des données précédentes, exprimer h en fonction de x

b. Déterminer l'expression de la surface de tôle à utiliser, en fonction de x et de h, puis uniquement en fonction de x

c. En utilisant les résultats du 1 donner les valeurs de x, puis de h dans les deux cas suivants :
. si l'on souhaite que la surface soit la plus petite possible ;

. si l'on décide d'utiliser 40 mètres carrés de tôle pour la construction de ce conteneur (on donnera les dimensions à 10^-1 près)

merci pour votre aide
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Nombre de messages : 254
Localisation : La Seyne sur mer
Date d'inscription : 22/01/2006

MessageSujet: Re: fonction dérivé et application de la dérivation   Sam 20 Mai - 23:24

cheers Bonsoir carramel
Malgré que tout ne soit pas clair dans ton énoncé, en particulier le domaine de définition, je vais essayer de t'éclairer
Pour le 1)
On a f'(x)=6-24/x² soit, en mettant au même dénominateur : (6x²-24)/x²
x² étant toujours positif, f'(x) est du signe de 6x²-24
6x²-24=0 <=> 6x²=24 d'où x=-2 ou x=2 si d'après ce que je comprends, le domaine de définition est bien [1/2;4] seul 2 répond au pb.
D'où le tableau :

D'après ce tableau on voit bien que f(x)=40 n'admet qu'une solution comprise entre 1/2 et 2.
Avec une calculette on trouve aisement 0,9<x<1
Pour le 2)
On a 3xh=12 soit h=12/3x ou h=4/x
La surface de tôle est égale à la somme des surfaces de chaque face :
3x+3x+3h+3h+2xh+2xh soit 6x+6h+2xh
En remplaçant h : 6x+(24/x)+8
D'après le tableau de variation du 1), on voit que pour que la surface soit minimum il faut x=2 (soit une surface de 32m²) et donc h=...
Pour avoir 40m², il faudra 0,9<x<1 etc...
Bon courage!!!...

_________________
Un prof pour vous servir rien que pour le plaisir!!!...
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